ΦBachelard [07] L’invention du non-euclidisme : déconcrétisation du « réel mathématique ». Dépassement du réalisme et du formalisme : l’axiomatisation. [Raison et Réel]

Publié le par Maltern

Φ Bachelard ~ [07] L’invention du non-euclidisme : déconcrétisation du « réel mathématique ». Dépassement du réalisme et du formalisme : l’axiomatisation. [Raison et Réel]

 

 

« Il ne faudrait d’ailleurs pas se hâter de faire passer le réalisme mathématique de la ligne à la surface et s’imaginer que c’est l’appartenance d’une ligne à une surface qui donne seule la réalité à la ligne. Le problème du réalisme mathématique est plus caché, plus indirect, plus lointain, plus abstrait.On dirait plus exactement que la réalité d’une ligne se fortifie par la multiplicité de ses appartenances variées, mieux encore, que l’essence d’une notion mathématique se mesure aux possibilités de déformation qui permet d’étendre l’application de cette notion. D’une manière générale, ce qui se retrouve vraiment le même dans des applications variées, voilà ce qui peut servir de fond pour la réalité matérielle. Il en va tout de même quand on va à la recherche de la réalité mathématique. Un trait doit être souligné ici : c’est que la mesure du réalisme mathématique se prend sur l’extension des notions plutôt que leur compréhension : la ligne géodésique a plus de réalité que la ligne droite. La pensée mathématique prend son essor avec l’apparition des idées de transformation, de correspondance, d’application variée.

 

[...]En stricte position épistémologique, on a coutume d’exposer l’origine du non-euclidisme de la manière suivante.

 

Puisqu’on n’arrive pas à démontrer directement la proposition d’ Euclide, prenons là comme une vérité à établir par l’absurde. Remplaçons donc cette proposition par la proposition contraire. Tirons des conclusions des postulats ainsi modifiés. Ces conclusions ne peuvent manquer d’être contradictoires. Dès lors, puisque le raisonnement est bon, c’est la proposition prise comme base qui est fautive. Il faut donc bien rétablir la proposition d’ Euclide qui est ainsi validée.

 

Or ce résumé épistémologique paraît bien vite manquer de fidélité quand on parcourt la « pangéométrie » de 1855. En effet non seulement on s’aperçoit que la contradiction ne survient pas, mais encore, on ne tarde pas à se sentir devant une déduction ouverte. [...] Psychologiquement parlant, il n’y a plus raison d’attendre la contradiction avec Lobatchewsky qu’avec Euclide. Cette équivalence sera sans doute établie techniquement par la suite [...] mais elle joue déjà sur le terrain psychologique. Il n’y a là qu’une faible nuance, négligée par les philosophes qui jugent sur les résultats définitifs. Cependant, si l’on veut pénétrer l’esprit scientifique dans sa dialectique nouvelle, il faut vivre cette dialectique sur le plan psychologique, comme une réalité psychologique, en s’instruisant dans la formation première des pensées complémentaires.

 

 

 

[La géométrie généralisée ou « pangéométrie » neutralise les suppositions arbitraires en tentant de donner un tableau systématique de toutes les suppositions et remet la géométrie d’ Euclide à sa place, comme un cas particulier d’un ensemble.]

 

 

 

La multiplicité des géométries contribue en quelque sorte à déconcrétiser chacune d’elles, le réalisme passe de l’une à l’ensemble. Après avoir montré le rôle initial de la dialectique dans la pensée géométrique, il faut donc étudier le caractère synthétique et cohérent qui est le propre des dialectiques exactes et complètes.

 

Cette cohérence, seule base possible du réalisme, on ne la trouvera pas en creusant une forme particulière, en multipliant par exemple les efforts d’intuition sur un problème euclidien. On doit la chercher dans ce qu’il y a de commun dans les géométries contraires. C’est en faisant correspondre les géométries que la pensée mathématique prend une réalité. De cette manière on connaît la forme des mathématiques dans ses transformations. On pourrait dire à l’être mathématique : dis-moi comment l’on te transforme, je te dirai qui tu es. Comme on le sait, l’équivalence des diverses images géométriques a été définitivement établie quand on eut trouvé que les unes et les autres correspondaient à une même forme algébrique. [...] La clé de voûte de l’évidence, c’est donc la forme algébrique. En somme l’algèbre amasse toutes les relations et rien que les relations. C’est en tant que relations que les diverses géométries sont équivalentes. C’est en tant que relations qu’elles ont une réalité et non par référence à un objet, à une expérience, à une image de l’intuition.

 

 

 

[Il y a donc un double mouvement de «  déconcrétisation »  des notions de base, et de concrétisation des relations entre ces notions « décolorées »]

 

 

 

Mais si ce ne sont pas les objets qui possèdent en eux la racine des relations, si ces objets ne reçoivent que plus tard des propriétés avec des relations imposées, on doit se demander d’où viennent ces relations. Ici règne encore une grande contingence, puisque l’indépendance des postulats chargés de relier les objets doit être absolue et que tout postulat doit pouvoir être remplacé par le postulat contraire. Une relation unique ne peut donc fournir la base d’un réalisme, dès qu’on se défend de tirer d’une réalité substantielle quelconque l’obligation de préférer une relation à une relation contraire. Cependant si un amas de relation manifeste une cohérence, cette pensée de cohérence va peu à peu se doubler d’un besoin de complétude qui déterminera des adjonctions. Il y a là une démarche synthétique qui tend à achever le corps des relations : c’est alors que la pensée géométrique donne l’impression d’une totalité et c’est alors seulement que la cohérence de la pensée semble se doubler d’une cohésion objective. Nous tenons là le point où apparaît le réel mathématique. Ce réel n’est point « contemporain » des « objets premiers », pas d’avantage des relations prises une à une. Mais quand ces relations déjà nombreuses réclament un complément, on peut saisir en action la fonction épistémologique essentielle à toute réalisation.

 

En effet, qu’est-ce que la croyance en la réalité, qu’est-ce que l’idée de réalité, quelle est la fonction métaphysique primordiale du réel ? C’est essentiellement la conviction qu’une entité dépasse son donné immédiat, ou la conviction qu’on trouvera plus dans le réel caché que dans le donné évident. Naturellement c’est dans le domaine mathématique que cette fonction réalisante joue avec le plus de délicatesse.

 

[...] Qu’on parle donc du nominalisme Hilbertien; qu’on accepte pour un instant le formalisme absolu; tous ces beaux objets de la géométrie, toutes ces belles formes, effaçons-les de notre souvenir, les choses ne sont plus que des lettres ! Qu’on se soumette ensuite à un conventionnalisme absolu : toutes ses claires relations ne sont que des syllabes qui s’associent d’une manière strictement abracadabrantes ! Et voilà résumées, symbolisées, épurées, toutes les mathématiques ! Mais voici alors l’effort poétique des mathématiciens, l’effort créateur, réalisateur; subitement les syllabes associées forment un mot : un vrai mot qui parle à la Raison et qui trouve dans la réalité, une chose à évoquer.

 

Cette soudaine valeur sémantique est d’essence totalitaire; elle apparaît avec la phrase achevée, non point avec la racine. Ainsi, au moment où la notion se présente comme une totalité, elle joue le rôle d’une réalité. Lisant quelques pages du formulaire de Peano, Poincaré se plaignait de ne point comprendre le péanien. C’est parce qu’il le prenait à la lettre, dans le décousu des conventions, comme un vocabulaire, sans vouloir l’employer réellement. Il suffit d’appliquer les formules de Peano pour sentir qu’elles doublent la pensée, qu’elles l’entraînent en la régularisant, sans qu’on sache bien où réside la force d’entraînement psychologique, car la dialectique de la forme et de la matière joue plus profondément qu’on ne le croit dans toutes nos pensées. En tout cas cette force d’entraînement existe. Cette transcendance poétique du péanien serait sans doute difficile à explorer si nous n’avions pas déjà vécu la pensée mathématique sur le plan de l’expérience commune. Comme le fait très justement remarquer Juvet  « en construisant une axiomatique, on cherche à ne pas avoir l’air d’utiliser ce que la science qu’on fonde a déjà appris, mais vraiment ce n’est qu’à propos de choses connues qu’on établit une axiomatique. » Il n’en est pas moins vrai que la pensée mathématique nouvelle correspond à un dédoublement caractéristique. Désormais une axiomatique accompagne le développement scientifique. On a écrit l’accompagnement après la mélodie »

 

 

 

[Bachelard, L’Engagement rationaliste, PUF, p 9 sq.]

Publié dans 16 - Démonstration

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